П.В. Пакшин,
(Арзамасский политехнический институт (филиал НГТУ),
г. Арзамас)
Исследование систем с неопределенными параметрами является одним из центральных направлений современной теории управления и составляет предмет интенсивно развивающейся теории робастной устойчивости и управления [1]. В этой теории существует разные подходы к построению моделей неопределенностей. Для линейных систем широкое распространение получили аффинные и политопные модели, которые позволяют привлечь эффективный аппарат полуопределенного программирования, в частности линейных матричных неравенств [1, 2].
В то же время эти модели обладают тем существенным недостатком, что порядок системы неравенств, которую необходимо решать для анализа устойчивости или синтеза стабилизирующего управления пропорционален n2N где п - порядок системы. N - число неопределенных параметров. Ясно, что для реальных систем даже при наличии хорошей вычислительной базы и программного обеспечения подобные задачи остаются трудоемкими для исследователей и совсем не привлекательными для инженеров, занятых конкретным проектированием. Кроме того, неясным остается вопрос о том, как влияют возможные вариации самого закона управления на свойства системы.
В [3] был предложен подход к исследованию робастности, основанный на построении стохастической системы с мультипликативными шумами из устойчивости которой в среднем квадратическом следовала асимптотическая устойчивость исходной системы с неопределенными параметрами при любых неопределенностях из заданной области (робастная устойчивость). При этом не происходит повышения размерности задачи в зависимости от числа неопределенных параметров. К сожалению эта работа не получила дальнейшего развития прежде всего в связи с тем, что оставалось неясным как решать те нестандартные матричные квадратные уравнения, к которым в конечном итоге приводили поставленные задачи робастной устойчивости и стабилизации.
Достигнутый в недавнее время прогресс в развитии методов решения нестандартных матричных уравнений типа Риккати на основе выпуклой оптимизации позволяет довести задачу до эффективных алгоритмов на основе решателей линейных матричных неравенств в случае, если вектор состояния доступен наблюдению[4]. Этот факт стимулировал в данной работе развитие идей [3] для снятия трудностей, связанных с указанной выше проблемой размерности.
Вторая из обозначенных проблем оказывается тесно связанной с теорией диссипативности и пассивности. Основы этой теории были заложены в работах [5]. Идейно она весьма близка к теории устойчивости по Ляпунову и характеризует свойства динамических систем в терминах специальных функций, зависящих от входных и выходных переменных, так называемых функций запаса (supply rate) и функций накопления (storage function).
Исследования показали, что теория пассивности и диссипативности является весьма эффективным инструментом для исследования устойчивости и стабилизации нелинейных систем управления см. прекрасную обзорную статью [6] и список литературы в ней. В частности если систему удается сделать пассивной, то она сохраняет устойчивость в достаточно широкой области вариаций закона управления с обратной связью.
Отмеченный прогресс детерминированной теории стимулировал в последнее время существенный интерес к обобщению теории диссипативности для стохастических систем. Разновидности подобного обобщения были предложены рядом авторов [7] и список литературы в [7]. По мнению автора, теория стохастической диссипативности может стать эффективным и инструментом для синтеза робастных систем. Один из шагов в этом направлении делается в данной работе, где рассматривается класс систем, описываемый конечным множеством управляемых диффузионных процессов Ито, аффинных по управлению, со скачкообразными переходами между ними, определяемыми определяемыми эволюцией однородной марковской цепи [8, 9]. Для таких систем вводится новое понятие экспоненциальной диссипативности и развивается теория экспоненциальной диссипативности. Эта теория затем применяется для оценки возможных вариаций закона управления с обратной связью по выходу, при которых система остается робастно устойчивой.
Для множества линейных систем с неопределенными параметрами на основе принципа сравнения со стохастической моделью предлагается процедура нахождения управления с обратной связью по выходу, обеспечивающего их робастную одновременную стабилизацию. Процедура состоит из двух шагов. На первом шаге с помощью сходящегося итерационного алгоритма находится робастное стабилизирующее управление, затем на основе решения системы линейных матричных неравенств оцениваются возможные вариации закона обратной связи, при которых сохраняется робастная устойчивость. Дается пример
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00132)
Список литературы
1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М: Наука, 2002.
2. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Наука. 2007.
3. Bernstein D.S. Robust static and dynamic output-feedback
stabilization: Deterministic and stochastic perspectives // IEEE Trans.
Automat. Contr. 1987. V. AC-32, P. 1076- 1084.
4. Ail Rami - M. and Zhou X. Y. Linear matrix inequalities, Riccati equatio
ns, and indefinite stochastic linear quadratic controls // IEEE Trans. Automat.
Control. 2000. V.45.P.1131-1143.
5. Will ems J.С Dissipative dynamic systems P I, II: // Archive for
Rational Mechanics and Analysis. 1972. V. 45.P. 321-393.
6. Полуишн И.Г.. Фрадков А.Л., Хилл Д.В. Пассивность и пассификация нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. №3. С. 3-37
7. Zhang W. and Chen B.S. State feedback NT control for a class of nonlinear stochastic systems // SIAM J. Control Optimization. 2006. V. 44. P. 1973-1991.
8. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998.
Лакшин П.В., Угриновский В.А. Стохастические задачи абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 2006. № 11. С. 122-158.
|
